Исследование и синтез логических схем. Исследование основных логических элементов и комбинационных устройств Лабораторная работа логические элементы

Цель работы : 1) изучение принципов построения серийных логических микросхем;

2) исследование логических функций одного и двух переменных и их реализация.

Общие сведения:

Логические элементы (ЛЭ) широко применяются в автоматике, вычислительной технике и цифровых измерительных приборах. Их создают на базе электронных устройств, работающих в ключевом режиме, при котором уровни сигналов могут принимать только два значения. В положительной логике принято, что высокий уровень сигнала соответствует логической единице (1), а низкий – логическому нулю (0).

Логическая функция выражает зависимость выходных логических переменных от входных и принимает значения 0 или 1. Любую логическую функцию удобно представить в виде таблицы состояний (таблицы истинности), где записываются возможные комбинации аргументов и соответствующие им функции.

Работу логических устройств анализируют с помощью алгебры логики (булевой алгебры), где переменная может принимать только два значения: 0 или 1.

Основными логическими операциями являются (табл.1):

1) логическое умножение: y =x 1 ·x 2 ·...·x n (читается “и х 1 , и х 2 ,..., и х n ”);

2) логическое сложение: y =x 1 +x 2 +...+x n (читается “или х 1 , или х 2 ,..., или х n ”);

3) логическое отрицание: (читается “не х ”).

Как видно из табл.1, выходной сигнал у элемента ИЛИ равен 1, если хотя бы один из его входов подан сигнал 1. Элемент И выдает 1, если на все входы поданы сигналы 1.

Все возможные логические функции n переменных можно образовать с помощью комбинации трех основных операций: И, ИЛИ, НЕ. Поэтому такой набор называют логическим базисом или функционально полным. Используя законы булевой алгебры (табл. 1), можно доказать, что таковыми являются наборы из одной функции И-НЕ, ИЛИ-НЕ.

В базовых элементах одной серии использована одинаковая микросхемная реализация. Серия характеризуется общими электрическими, конструктивными и технологическими параметрами.

Интегральные микросхемы серии 155 представляют собой транзисторно-транзисторные логические (ТТЛ) элементы с 14 или 16 выводами. Базовым элементом серии является логический элемент И-НЕ, состоящий из многоэмиттерного транзистора VT1 и сложного усилителя-инвертора.

Таблица 1

Тип Элемента	Логическая функция (операция)	Обозначение Логической Операции	Таблица истинности	Условное Изображение
x 1
x 2
Элемент НЕ (инвертор)	Логическое Отрицание, Инверсия	ùx	x			X 1 y
Элемент И (конъюнктор)	Логическое умножение, Конъюнкция	x 1 ·x 2 x 1 x 2 x 1 Ùx 2 x 1 &x 2	x 1 ·x 2					x 1 & y x 2 y=x 1 ×x 2
Элемент ИЛИ (дизъюнктор)	Логическое сложение, Дизъюнкция	x 1 +x 2 x 1 Úx 2	x 1 +x 2					x 1 1 y x 2 y=x 1 +x 2
Элемент И-НЕ (элемент Шеффера)	Отрицание конъюнкции	_____ x 1 ·x 2	_____ x 1 ·x 2					x 1 & y x 2 y=
Элемент ИЛИ-НЕ (элемент Пирса)	Отрицание дизъюнкции	_____ x 1 +x 2	_____ x 1 +x 2					x 1 1 y x 2 y=

В настоящее время применяется несколько разновидностей серий микросхем с элементами ТТЛ: стандартные (серии 133; К155), высокого быстродействия (серии 130; К131), микромощные (серия 134). Кроме расширения номенклатуры элементов серий К531 и К555 сейчас активно развиваются наиболее перспективные серии ТТЛШ - микромощная К1533 и быстродействующая К1531, выполненные на основе последних достижений технологии изготовления ИС - ионной имплантации и прецизионной фотолитографии.

В последние годы получили развитие программируемые логические элементы, на которых с помощью программаторов можно построить многие цифровые устройства.

Любая сложная логическая функция может быть реализована с помощью ЛЭ, выполняющих элементарные функции И-НЕ, ИЛИ-НЕ. Пусть требуется составить комбинационную схему с четырьмя входами x 1 , x 2 , x 3 , x 4 и одним выходом y . Высокий уровень напряжения должен появляться на выходе только при наличии высоких уровней на трех входах, т.е. y =1 при x 1 =x 2 =x 3 =1 и x 4 =0. Такую схему можно составить путем подбора элементов. Например, элемент 3И-НЕ при подаче на его входы x 1 =x 2 =x 3 =1 дает на выходе сигнал y 1 =0. Подавая его и x 4 =0 на вход элемента 2ИЛИ-НЕ, получаем y =1(рис.1).

Порядок выполнения эксперимента:

1) Установить блок логических элементов (ЛЭ).

2) Подключить источник питания ГН1 к гнёздам "5В".

3) Изучить принцип работы ЛЭ. Для этого подавать на их входы сигналы (0 или 1). Выходы контролировать при помощи логического тестера.

4) Собрать на ЛЭ комбинационные схемы (рис.2).

Проверить их работу. Составить таблицы истинности исследуемых схем.

1. Название работы.

2. Цель работы.

3. Схемы логических элементов.

4. Таблицы истинности.

5. Вывод по работе.

В выводе указать назначение логических элементов и область их применения.

Контрольные вопросы:

1. Какие операции алгебры логики Вы знаете?

2. Приведите примеры простейших цифровых устройств на основе логических элементов.

3. Поясните работу базовых логических элементов.

4. Как классифицируются ЛЭ по микросхемной реализации.

ИССЛЕДОВАНИЕ ТРИГГЕРОВ НА ЛОГИЧЕСКИХ ИМС .

Цель работы: изучение схем и функциональных возможностей основных типов триггеров; экспериментальное изучение триггеров и схем управления.

Лабораторная работа №2

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Исследование функционирования типовых логических элементов; реализация основных и других функций на базовых элементах И-НЕ и ИЛИ-НЕ; применение логических элементов как коммутаторов сигналов.

2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Микросхемы типа ЛАвыполняют логическую функцию mИ - НЕ, ИС типа ЛЕ выполняют логическую функцию mИЛИ - НЕ (m - число входов), а ИС типа ЛН выполняют логическую функцию НЕ. В одном корпусе микросхемы ЛАЗ содержится четыре логических элемента 2И-НЕ. В одном корпусе микросхемы ЛЕ1 содержится четыре логических элемента 2ИЛИ-НЕ. В одном корпусе микросхемы ЛН1 содержится шесть логических элементов НЕ (инверторов). Микросхема ЛН1 имеет двухтактный выходной каскад. Условные обозначения и цоколевки микросхем ЛАЗ, ЛЕ1 и ЛН1 приведены на рис. 1.

Рисунок 1

Логические элементы называют еще вентилями (коммутаторами сигналов). Это объясняется тем, что они могут задерживать или пропускать цифровую информацию по принципу обычного вентиля, предназначенного для управления потоком жидкости. Условное обозначение вентиля 2И с сигналами на его входах и выходе и временные диаграммы его работы в качестве коммутатора приведены на рис. 2.

Рисунок 2

Если на верхний вход логического элемента 2И подать прямоугольные импульсы с генератора, а на нижний вход - уровень логической единицы, то импульсы с генератора будут проходить на выход логического элемента 2И (рис. 2). Это следует из закона функционирования элемента И. Если же логическую единицу на нижнем входе заменить логическим нулем, то импульсы с верхнего входа на выход логического элемента 2И проходить не будут, так как хотя бы один нуль на входе этого элемента дает нуль на выходе.

3. ОБОРУДОВАНИЕ

В качестве измерительной аппаратуры используются стенд ЦС-02.

4. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

В работе используйте микросхемы K155JIA3, К155ЛЕ1, К155ЛН1.

1. Исследование функционирования логических элементов 2И-НЕ, 2ИЛИ-НЕ и НЕ

1.1. Зарисуйте схемы для исследования логических элементов (см. рис. 3 а - в). Проставьте на них номера выводов выбранных элементов микросхем. Выберите источники ЛУ, которые Вы будете использовать, и проставьте их номера на схеме.

1.2. Соберите поочередно схемы, показанные на этих рисунках.

1.3. Изменяя комбинации входных сигналов, контролируйте состояние выхода исследуемого логического элемента светодиодным индикатором или осциллографом. Заполните таблицы истинности элементов (табл. 1).

Таблица 1

А	В	ЛА3	ЛЕ1	ЛН1
Функция

1.4. Убедитесь в правильности функционирования логических элементов.

Рисунок 3

2. Реализация основных функций на базовых элементах И-НЕ

2.1. Зарисуйте схемы, показанные на рис. 4,а, 4,в. Проставьте на них номера выводов выбранных элементов микросхем. Выберите источники ЛУ, которые Вы будете использовать, и проставьте их номера на схеме.

Рисунок 4

2.2.Соберите поочередно схемы, показанные на этих рисунках.

2.3.Изменяя комбинации входных сигналов, контролируйте состояние выходов всех логических элементов схем светодиодными индикаторами или осциллографом. Составьте таблицы истинности исследуемых схем.

2.4.Убедитесь в правильности полученных результатов, теоретически проанализировав работу исследуемых схем.

2.5.Используя полученные таблицы истинности, определите вид функции, которую выполняет каждая схема и запишите название функции в графу «вид функции» таблиц.

3. Реализация основных функций на базовых элементах ИЛИ-НЕ

3.1. Зарисуйте схемы, показанные на рис.5, а, б, в. Проставьте на них номера выводов выбранных элементов микросхем. Выберите источники ЛУ, которые Вы будете использовать и проставьте их номера на схеме.

Рисунок 5.

3.2. Соберите поочередно схемы, показанные на этих рисунках.

3.3. Изменяя комбинации входных сигналов, контролируйте состояние выходов всех логических элементов схем светодиодными индикаторами или осциллографом. Заполните таблицы истинности исследуемых схем, аналогичные табл. 3...5.

3.4. Убедитесь в правильности полученных результатов, теоретически проанализировав работу исследуемых схем.

3.5. Используя таблицы истинности, определите вид функции, которую выполняет каждая схема, и запишите название функции в графу «вид функции» таблиц.

4. Реализация функций различных типов на базовых элементах И-НЕ и ИЛИ-НЕ

4.1. Зарисуйте схемы, показанные на рис.6, а, б. Проставьте на них номера выводов выбранных элементов микросхем. Выберите источники ЛУ, которые Вы будете использовать, и проставьте их номера на схеме.

Рисунок 6

4.2. Соберите поочередно схемы, показанные на этих рисунках.

4.3. Изменяя комбинации входных сигналов, контролируйте состояние выходов всех логических элементов схем светодиодными индикаторами или осциллографом. Заполните таблицы истинности исследуемых схем.

4.4. Убедитесь в правильности полученных результатов, теоретически проанализировав работу исследуемых схем.

5. Применение логических элементов в качестве коммутаторов сигналов

5.1. Зарисуйте схемы для исследования логических элементов (см. рис.7, а - г). Проставьте на них номера выводов выбранных для исследования логических элементов микросхем. Выберите источники ЛУ, которые Вы будете использовать и проставьте их номера на схеме.

5.2. Соберите поочередно схемы, показанные на рис.7, а, в, если для контроля входных и выходных сигналов имеются только светодиодные индикаторы. При наличии осциллографа соберите схемы, показанные на рис.7, в, г.

5.3. Наблюдайте форму сигнала на входе А логических элементов и выходного сигнала С сначала при наличии логической единицы на входе В, а затем - при наличии логического нуля. Для этого подключите к выходу схем (рис.7, а, в) светодиодный индикатор. При исследовании схем (рис.7, в, г) вход первого канала осциллографа подключите ко входу А логического элемента, а вход второго канала - к выходу логического элемента. Синхронизируйте развертку осциллографа сигналом первого канала. Зарисуйте временные диаграммы (осциллограммы) сигналов на входах и выходе исследуемых элементов для обоих случаев (рис. 8 а, б).

5.4. Убедитесь в правильности функционирования логических элементов, как коммутаторов сигналов, теоретически проанализировав их работу.

Рисунок 7

Рисунок 8

Отчет по работе должен содержать:

Наименование работы и цель работы;

Исследуемые схемы;

Таблицы истинности;

Временные диаграммы;

Сравнение экспериментальных данных с результатами теоретического анализа;

Выводы по работе.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Сколько различных комбинаций существует для четырех входных сигналов?

2. Как выглядит условное обозначение логического элемента ЗИЛИ?

3. Как изменится выходная функция логического элемента И-НЕ, если его входы проинвертировать?

4. Какие логические элементы инвертируют входные сигналы, когда пропускают их на выход?

5. Какие сигналы надо подать на два остальных входа логического элемента ЗИЛИ, чтобы импульсы с первого входа проходили на выход?

Данный набор позволяет изучить логику работы основных типов логических элементов. Набор размещается в укладке представляющей собой черный пластиковый ящик размером 200 х 170 х 100 мм

В укладке располагается четыре модуля стандартного размера 155 х 95 х 30 мм. Кроме этого там должны быть соединительные провода, но в экземпляре, с которым имел дело автор, они отсутствовали, но, сохранилось руководство по эксплуатации .

Логический элемент И

Первый модуль это логический элемент И , на его выходе сигнал появляется только при условии того, что сигнал приходит на оба его информационных входа.

Стандартный модуль представляет собой печатную плату, которая сверху закрыта прозрачной пластиковой крышкой, укрепленной на двух винтах.

Модуль легко разбирается, что позволяет подробно рассмотреть печатную плату устройства. С тыльной стороны печатные проводники закрыты непрозрачной пластиковой крышкой.

Логический элемент ИЛИ

Практически аналогично устроен логический элемент ИЛИ , на его выходе сигнал появляется при условии прихода сигнала на любой из его информационных входов.

Логический элемент НЕ

Логический элемент НЕ . Сигналы на входе и выходе этого элемента всегда имеют противоположные значения.

Триггер

Триггер - логическое устройство с двумя устойчивыми состояниями, используется как основа для всевозможных устройств требующих хранения информации.

В целом данный набор по цифровой электроники аналогичен комплекту «Электронный усилитель». Разумеется, представленный в наборе вариант реализации логических элементов далеко не является единственным. По сути, здесь логические элементы реализованы, так как это делалось в 60-е годы XX века. В данном случае важно то, что при работе с данным набором можно непосредственно изучить простейший схемотехнический пример лежащий в самой основе цифровой полупроводниковой электроники. Таким образом, отдельный логический элемент перестает быть «черным ящиком», который работает на чистой магии. Хорошо видимая и одновременно защищенная электрическая схема, это как раз то, что нужно для изучения основ электроники. Автор обзора - Denev.

Цель работы . Ознакомление с основными функциями и законами алгебры логики, характеристи­ками логических микросхем, основами анализа и синтеза простых и сложных логических схем.

Краткие теоретические сведения.

Анализ работы цифровых устройств и синтез логических цепей произ­водится на основе математического аппарата алгебры логики или «булевой» алгебры, оперирующей только двумя понятиями: истинным (логическая «1») и ложным (логический «0»). Функции, отображающие такую информацию, а также устройства, формирующие функции алгебры логики, называются логическими. Логические функции нескольких переменных определяют характер логических операций, в результате которых набору входных переменных x 0 , x 1 ,…, x n -1 ставится в соответствие выходная переменная F

F = f (x 0 , x 1 ,…, x n -1 ).

Функция преобразования характеризуется таблицей, в которой каждой комбинации входных переменных соответствует значение выходной переменной F . Ее называют таблицей истинности.

Основными функциями алгебры логики, с помощью которых можно осуществлять любые логические преобразования, являются логическое умножение (конъюнкция), логическое сложение (дизъюнкция) и логическое отрицание (инверсия).

Алгебра логики позволяет преобразовывать формулы, описывающие сложные логические зависимости, с целью их упрощения. Это помогает в конечном итоге определять оптимальную структуру того или иного цифрового автомата, реализующего любую сложную функцию. Под оптимальной структурой принято понимать такое построение автомата, при котором число входящих в его состав элементов минимально.

Основные законы алгебры логики .

Переместительный закон:

a + b = b + а; ab = ba .

Сочетательный закон:

(a + b) + c = a + (b + c); (ab)c = a(bc).

Распределительный закон:

a(b + c) = ab + ac; a + bc = (a + b)(a +c).

Закон поглощения:

a + ab = a(1 + b) = a; a(a + b) = a + ab = a.

Закон склеивания:

ab + a = a ; (a + b )(a + ) = a .

Закон отрицания:

или
.

Логические элементы . Логические элементы используют в качестве значений входных и выходных напряжений лишь два уровня: «высокий» и «низкий». Если логическому «0» соответствует напряжение низкого уровня, а логической «1» – высокого, то такую логику называют положительной, и наоборот, если за логический «0» принимают напряжение высокого уровня, а за логическую «1» – напряжение низкого уровня, то такую логику называют отрицательной. В транзисторно-транзисторной логике (ТТЛ) напряжение логического «0» – U 0 со­став­ляет десятые доли вольт (менее 0,4 В), а напряжение логической «1» – U 1 >2,4 В. Логические элементы реализуют простейшие функции или систему функций алгебры логики.

	Таблица 1

П ростейшей функцией алгебры логики является функция НЕ. Она реализуется с помощью инвертора, условное графическое обозначение которого приведено на рис. 1. На вход инвертора подается величинаX , которая может принимать два значения: «0» и «1». Выходная величина Y , при этом тоже принимает два значения: «1» и «0». Взаимно однозначное соответствие X и Y дается таблицей истинности (табл. 1), причем значение выходной величины Y зависит не от предыдущих значений, а лишь от текущего значения входной величины X : Y = .

Это справедли­во для всех логических элементов, не имеющих памяти, у кото­рых в таблице истинности значение Y не зависит от порядка строк.

		Таблица 2

Л огическими элементами, реализующими функции логиче­ского сложения и логического умножения, являются элементы ИЛИ и И. Таблицы истинности для этих элементов однозначно связывают значение выходной величиныY со значениями двух (или более) входных величин х l , х 2 , ... x n . Условные графические обозначения логических эле­ментов ИЛИ и И приведены соответственно на рис. 2 и 3, а их таблицы истинности – в таблицах 2 и 3. Например, для логического элемента 2-ИЛИ, реализую­щего дизъюнкцию

Y = х l + х 2 или Y = х l  х 2 ,

а для элемента 2-И, реали­зую­щего конъюнкцию

Y = х l  х 2 или Y = х l  х 2 .

		Таблица 3

Н а наборе логиче­ских элементов И, ИЛИ, НЕ можно реализовать любую сколь угодно сложную логи­ческую функцию, поэ­тому данный набор элемен­тов на­зывают функциональ­но пол­ным.

На практике часто используется расширенный набор логических элементов, позволяющих также составлять функционально полные системы. К ним относятся элементы:

ИЛИ-НЕ (элемент Пирса), реализующий функцию

;

И-НЕ (элемент Шеффера), реализующий функцию

.

Их обозначения и таблицы истинности приведены на рис. 4 и в табл. 4.

			Таблица 4

В частности функционально полные системы могут состоять из эле­мен­тов только одного типа, например, реализующих функцию И-НЕ либо ИЛИ-НЕ.

Комбинационные логические цепи – это такие цепи, выходные сигналы которых однозначно определяются сигналами, присутствующими на их входах в рассматриваемый момент времени и не зависят от предыдущего состояния.

Набор логических элементов, входящих в состав учебного стенда по основам цифровой техники не содержит элементов, реализующих функцию ИЛИ-НЕ, что ограничивает число вариантов построения логических схем при их синтезе и позволяет составлять схемы только в базисе элементов И-НЕ.

Прежде чем перейти к вопросам анализа и синтеза логических устройств в заданном базисе элементов (И-НЕ), необходимо составить таблицу, в которую будут сведены все возможные формы представления выходных сигналов указанных элементов при условии, что на их входы поданы логические переменные х l и х 2 . При синтезе схем можно использовать два технических приема: двойное инвертирование входного исходного выражения или его части и применение теорем Де-Моргана. При этом функция преобразуется к виду, содержащему только операции логического умножения и инверсии, и переписывается через условные обозначения операции И-НЕ и НЕ.

Последовательность проведения анализа и синтеза комбинационных логических цепей:

Составление таблицы функционирования логической цепи (таблицы истинности).

Запись логической функции.

Минимизация логической функции и преобразование ее к виду, удобному для реализации в заданном базисе логических элементов (И-НЕ, НЕ).

Пример проведения анализа и синтеза логических цепей .

Пусть необходимо построить мажоритарную ячейку (ячейку голосования) на три входа, т.е. такую ячейку, у которой сигнал на выходе равен единице тогда, когда на двух или трех входах цепи присутствует сигнал единицы, в противном случае выходной сигнал должен быть равен нулю.

Вначале заполним таблицу истинности (табл. 5). Поскольку в данном случае имеются три входных сигнала х 1 , х 2 , х 3 , каждый из которых может принимать одно из двух возможных значений (0 или 1), то всего может быть восемь различных комбинаций этих сигналов. Четырем из этих комбинаций будет соответствовать выходной сигнал F , равный единице.

Таблица 5

	x 1	x 2	x 3

Пользуясь данными табл. 5, можно запи­сать логическую функцию, кото­рую должна реализовать синтезируемая цепь. Для этого нужно представить эту функцию в виде суммы логических произведений, соответствующих тем строкам табл. 5 (3, 5-7), для которых функция F равна единице. Аргументы записываются без инверсии, если они равны единице и с инверсией, если равны нулю.

Если в синтезируемой таблице истинности выходная величина чаще принимает значение «1», то синтезируются строки, в которых выходная величина равна «0».

При выполнении заданной процедуры получим функцию

F = . (1)

Для минимизации (упрощения) данной функции нужно применить основные законы алгебры логики. Возможна следующая последовательность преобразований, например, с применением закона склеивания (теоремы Де-Моргана):

F = =

+
=
. (2)

Как видно, полученное конечное выражение гораздо проще исходного.

Аналогично проводится анализ (составление таблиц истин­ности) и более сложных логических схем.

Для выполнения задания предлагается набор наиболее распространенных логических элементов (рис. 5).

Рис. 5. Набор логических элементов для выполнения задания

Задание к лабораторной работе

1. Составить таблицы истинности для всех логических элементов, приведенных на рис. 5.

2. Для каждого логического элемента из набора представленных на рис. 5. составить логические выражения, реализующие их функции в базисе логических элементов НЕ и И-НЕ и начертить полученные тождественные схемы.

3. Собрать рассмотренные схемы на стенде и, путем перебора комбинаций входных сигналов, составить их таблицы истинности.

4. Используя законы отрицания (теоремы Де-Моргана) произвести преобра­зование минимизиро­ван­ной функции (2) для реализации ее в базисе логических элементов НЕ и И-НЕ и начертить полученную тождественную схему.

5. Собрать представленную схему на стенде и, путем перебора комбинаций входных сигналов, проверить соответствие ее работы таблице истинности (табл. 5).

Контрольные вопросы

Что такое функционально полная система и базис логических элементов?

В чем особенности синтеза логических устройств?

В чем заключаются принципы минимизации логических устройств?

Назовите основные операции булевой алгебры.

Что отражают теоремы булевой алгебры? Сформулировать теоремы Де-Моргана: поглощения и склеивания.

Какие цифровые устройства называются комбинационными?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5

Цель работы – Практическое изучение логических элементов, реализующих элементарные функции алгебры логики (ФАЛ ). Экспериментальное исследование логических элементов, построенных на отечественных микросхемах серии К155, К561.

1. Краткие теоретические сведения

1.1. Математической основой цифровой электроники и вычислительной техники является алгебра логики или булева алгебра (по имени английского математика Джона Буля).

В булевой алгебре независимые переменные или аргументы (X) принимают только два значения: 0 или 1. Зависимые переменные или функции (Y) также могут принимать только одно из двух значений: 0 или 1. Функция алгебры логики (ФАЛ) представляется в виде:

Y = F (X 1 ; X 2 ; X 3 ... X N).

Данная форма задания ФАЛ называется алгебраической.

1.2. Основными логическими функциями являются:

Логическое отрицание (инверсия)

Логическое сложение (дизьюнкция)

Y = X 1 + X 2 или Y = X 1 V X 2 ;

Логическое умножение (коньюнкция)

Y = X 1 ·X 2 или Y = X 1  X 2 .

К более сложным функциям алгебры логики относятся:

Функция равнозначности (эквивалентности)

Y = X 1 ·X 2 +
или Y = X 1 ~ X 2 ;

Функция неравнозначности (сложение по модулю два)

Y =
+
или Y = X 1 X 2 ;

Функция Пирса (логическое сложение с отрицанием)

Y =
;

Функция Шеффера (логическое умножение с отрицанием)

Y =
;

1.3. Для булевой алгебры справедливы следующие законы и правила:

Распределительный закон

X 1 (X 2 + X 3) = X 1 ·X 2 + X 1 ·X 3 ,

X 1 + X 2 ·X 3 = (X 1 + X 2) (X 1 + X 3) ;

Правило повторения

X·X = X , X + X = X ;

Правило отрицания

X·= 0 , X += 1 ;

Теорема де Моргана: Чтобы получить дополнительную булеву функцию, инвертируйте каждую переменную и замените И на ИЛИ

=
,
=
;

Тождества

X·1 = X, X + 0 = X, X·0 = 0 , X + 1 = 1.

1.4. Схемы, реализующие логические функции, называются логическими элементами. Основные логические элементы имеют, как правило, один выход (Y) и несколько входов, число которых равно числу аргументов (X 1 ; X 2 ; X 3 ... X N). На электрических схемах логические элементы обозначаются в виде прямоугольников с выводами для входных (слева) и выходных (справа) переменных. Внутри прямоугольника изображается символ, указывающий функциональное назначение элемента.

На рис. 2.1  2.10 представлены логические элементы, реализующие рассмотренные ниже функции. Там же представлены так называемые таблицы состояний или таблицы истинности, описывающие соответствующие логические функции в двоичном коде в виде состояний входных и выходных переменных. Таблица истинности является также табличным способом задания ФАЛ.

На рис. 2.1 представлен элемент “НЕ.

Рисунок 2.1. Элемент “НЕ”, реализующий функцию логического отрицания Y =

Элемент “ИЛИ” (рис. 2.2) и элемент “И” (рис. 2.3) реализуют функции логического сложения и логического умножения соответственно.

Рисунок 2.2

Рисунок 2.3

Функции Пирса и функции Шеффера реализуются с помощью элементов “ИЛИ-НЕ” и “И-НЕ”, представленных на рис. 2.4 и рис. 2.5 соответственно.

Рисунок 2.4

Рисунок 2.5

Элемент Пирса можно представить в виде последовательного соединения элемента “ИЛИ” и элемента “НЕ” (рис. 2.6), а элемент Шеффера – в виде последовательного соединения элемента “И” и элемента “НЕ” (рис. 2.7).

На рис. 2.8 и рис. 2.9 представлены элементы “Исключающее ИЛИ” и “Исключающее ИЛИ - НЕ”, реализующие функции неравнозначности и неравнозначности с отрицанием соответственно.

Рисунок 2.8

Рисунок 2.9

1.5. Логические элементы, реализующие операции коньюнкции, дизьюнкции, функции Пирса и Шеффера, могут быть, в общем случае, n - входные. Так, например, логический элемент с тремя входами, реализующий функцию Пирса, имеет вид, представленный на рис. 2.10.

Рисунок 2.10

В таблице истинности (рис. 2.10) в отличие от таблиц (рис. 2.4) имеется восемь значений выходной переменной Y. Это количество определяется числом возможных комбинаций входных переменных N, которое, в общем случае, равно: N = 2 n , где n - число входных переменных.

1.6. Логические элементы используются для построения интегральных микросхем, выполняющих различные логические и арифметические операции и имеющих различное функциональное назначение. Микросхемы типа К155ЛН1 и К155ЛА3, например, имеют в своем составе шесть инверторов и четыре элемента Шеффера соответственно (рис. 2.11), а микросхема К155ЛР1 содержит элементы разного вида (рис. 2.12).

Рисунок 2.11

Рисунок 2.12

1.7. Функции алгебры логики любой сложности можно реализовать с помощью указанных логических элементов. В качестве примера рассмотрим ФАЛ, заданную в алгебраической форме, в виде:

Упростим данную ФАЛ, используя вышеприведенные правила. Получим:

(2)

Проведенная операция носит название минимизации ФАЛ и служит для облегчения процедуры построения функциональной схемы соответствующего цифрового устройства.

Функциональная схема устройства, реализующая рассматриваемую ФАЛ, представлена на рис. 2.13.

Рисунок 2.13

Следует отметить, что полученная после преобразований функция (2) не является полностью минимизированной. Полная минимизация функции проводится студентами в процессе выполнения лабораторной работы.

Оборудование: Лабораторный стенд ЛКЭЛ – 4М 08 «Цифровая и цифро-аналоговая схемотехника»

2.1. Исследовать особенности функционирования логических элементов НЕ, 2ИЛИ, 2И, 2И-НЕ, 3И-НЕ, расположенных на панели стенда. Для исследования элемента НЕ, расположенного в левой части монтажного поля сигнал на вход подавать путем нажатия на черную кнопку. При этом свечение красного светодиода говорит о наличии «1» на входе и соответственно «0» на выходе. Для исследования остальных элементов за входной сигнал, как вариант, взять сигнал с гнезда, расположенного рядом со светодиодом. Построить таблицу истинности для каждого элемента, взяв за образец таблицу 1. Для измерений состояний и значений напряжений входа и выхода использовать осциллограф (вольтметром, расположенным на стенде).

2.1.1. Минимизировать функцию (2) используя различные варианты (можно один), разработать схему, исходя из наличия элементов на панели стенда, и реализовать ее на панели стенда. Результаты занести в таблицу 2.

2.1.2. По результатам исследований (п. 2.1.1) определить функциональное назначение элементов и проставить их обозначение на схеме в лабораторном отчете.

Название и цель работы.

Схема выполнения экспериментов.

Заполненные таблицы 2.1 и 2.2.

Результаты измерений U 0 и U 1 (п. 2.1).

Выводы по работе.

4. Контрольные вопросы.

Какими значениями переменных оперирует алгебра логики?

Основные формы задания ФАЛ.

Вид основных логических функций в алгебраической форме.

Что такое “логический элемент”?

Какие логические функции выполняют элементы Пирса и Шеффера?

Чем определяется число возможных комбинаций входных переменных для произвольного логического элемента?

Дать определение СДНФ, СКНФ.

Таблица 2.1 Таблица 2.2