Резонанс в электрической цепи применение резонанса. Резонанс в электрической цепи
В том случае, когда электрическая цепь содержит элементы с емкостными, а также с индуктивными свойствами может возникнуть режим резонанса. Кроме того, резонанс в электрической цепи появляется в случае совпадения по фазе тока и напряжения. Реактивное сопротивление и проводимость на входе имеют нулевое значение. Полностью отсутствует сдвиг фаз, и цепь становится активной.
Причины резонанса
Резонанс напряжений появляется в случае последовательного соединения участков, содержащих сопротивления индуктивного и емкостного характера, а также резисторы. Такая простая цепь очень часто носит название последовательного или параллельного контура.
В резонансном контуре вовсе не обязательно присутствие резистивного сопротивления. Тем не менее, его необходимо учитывать при определении сопротивления проводников. Таким образом, резонансный режим полностью зависит от параметров и свойств электрической цепи. На него никак не влияют внешние источники электрической энергии.
Для того, чтобы определить условия, при которых возникает режим резонанса, необходимо проверить электрическую цепь с целью определения ее проводимости или комплексного . Кроме того, её мнимая часть должна быть выделена и приравнена к нулю.
Характеристики резонанса
Все параметры, входящие в цепь, и присутствующие в полученном уравнении, так или иначе, влияют на показатели, характеризующие резонансные явления. В зависимости от параметров, входящих в состав уравнения, решение может иметь несколько различных вариантов. При этом, все решения будут соответствовать собственному варианту и в дальнейшем обретать физический смысл.
В различных видах электро цепей, явление резонанса рассматривается, как правило, при анализе в случае нескольких вариантов. В этих же случаях может проводиться синтез цепи, в котором заранее заданы резонансные параметры.
Электрические цепи которые имеют большое количество связей и реактивных элементов, представляют собой серьезную проблему при проведении анализа. Их никогда не используют при синтезе с заранее заданными свойствами, поскольку далеко не всегда возможно получение желаемого результата. Поэтому, в практической деятельности производится исследование двухполюсных приборов самых простых конструкций и на основании полученных данных проводится создание более сложных цепей с заранее заданными параметрами.
Таким образом, резонанс электрической цепи представляет собой достаточно сложное явление, благодаря использованию в ней определенных элементов. Учет этого явления позволяет наиболее полно определить параметры и прочие характеристики.
Резонансы токов и напряжений
В колебательном контуре, обладающем индуктивностью L, емкостью C и сопротивлением R, свободные электрические колебания имеют тенденцию к затуханию. Чтобы колебания не затухали, необходимо периодически пополнять контур энергией, тогда возникнут вынужденные колебания, которые не будут затухать, ведь внешняя переменная ЭДС станет теперь поддерживать колебания в контуре.
Если колебания поддерживать источником внешней гармонической ЭДС, частота которой f очень близка к резонансной частоте колебательного контура F, то амплитуда электрических колебаний U в контуре станет резко возрастать, то есть наступит явление электрического резонанса .
Рассмотрим сначала поведение конденсатора C в цепи переменного тока. Если к генератору, напряжение U на выводах которого меняется по гармоническому закону, присоединить конденсатор C, то заряд q на обкладках конденсатора станет меняться также по гармоническому закону, как и ток I в цепи. Чем больше емкость конденсатора, и чем выше частота f, прикладываемой к нему гармонической ЭДС, тем больше окажется ток I.
С этим фактом связано представление о так называемом емкостном сопротивлении конденсатора XC, которое он вносит в цепь переменного тока, ограничивая ток подобно активному сопротивлению R, но в сравнении с активным сопротивлением, конденсатор не рассеивает энергию в виде тепла.
Если активное сопротивление рассеивает энергию, и таким образом ограничивает ток, то конденсатор ограничивает ток просто из-за того, что в нем не успевает уместиться больше заряда, чем генератор может дать за четверть периода, к тому же в следующую четверть периода конденсатор отдает энергию, которая накопилась в электрическом поле его диэлектрика, обратно генератору, то есть хоть ток и ограничен, энергия не рассеивается (потерями в проводах и в диэлектрике пренебрежем).
Теперь рассмотрим поведение индуктивности L в цепи переменного тока. Если вместо конденсатора присоединить к генератору катушку, обладающую индуктивностью L, то при подаче от генератора синусоидальной (гармонической) ЭДС на выводы катушки, - в ней начнет возникать ЭДС самоиндукции , поскольку при изменении тока через индуктивность, увеличивающееся магнитное поле катушки стремится препятствовать росту тока (закон Ленца), то есть получается, что катушка вносит в цепь переменного тока индуктивное сопротивление XL - дополнительное к сопротивлению провода R.
Чем больше индуктивность данной катушки, и чем выше частота F тока генератора, тем выше индуктивное сопротивление XL и меньше ток I, ведь ток просто не успевает устанавливаться, потому что ЭДС самоиндукции катушки ему мешает. И каждые четверть периода энергия, накопленная в магнитном поле катушки, возвращается к генератору (потерями в проводах пока пренебрежем).
В любом реальном колебательном контуре последовательно соединены индуктивность L, емкость C и активное сопротивление R.
Индуктивность и емкость действуют на ток противоположно в каждую четверть периода гармонической ЭДС источника: на обкладках конденсатора , хотя уменьшается ток, а при нарастании тока через индуктивность ток хоть и испытывает индуктивное сопротивление, но нарастает и поддерживается.
И во время разряда: разрядный ток конденсатора сначала большой, напряжение на его обкладках стремится установить большой ток, а индуктивность препятствует увеличению тока, и чем больше индуктивность, тем меньший разрядный ток будет иметь место. При этом активное сопротивление R вносит чисто активные потери. То есть полное сопротивление Z, последовательно включенных L, C и R, при частоте источника f, будет равно:
Из закона Ома для переменного тока очевидно, что амплитуда вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде ЭДС и зависит от частоты. Полное сопротивление цепи будет наименьшим, а амплитуда тока будет наибольшей при условии, что индуктивное сопротивление и емкостное при данной частоте равны между собой, в этом случае наступит резонанс. Отсюда же выводится формула для резонансной частоты колебательного контура :
Когда источник ЭДС, емкость, индуктивность и сопротивление включены между собой последовательно, то резонанс в такой цепи называется последовательным резонансом или резонансом напряжений. Характерная черта резонанса напряжений - значительные напряжения на емкости и на индуктивности, по сравнению с ЭДС источника.
Причина появления такой картины очевидна. На активном сопротивлении по закону Ома будет напряжение Ur, на емкости Uc, на индуктивности Ul, и составив отношение Uc к Ur можно найти величину добротности Q. Напряжение на емкости будет в Q раз больше ЭДС источника, такое же напряжение окажется приложенным к индуктивности.
То есть резонанс напряжений приводит к возрастанию напряжения на реактивных элементах в Q раз, а резонансный ток будет ограничен ЭДС источника, его внутренним сопротивлением и активным сопротивлением цепи R. Таким образом, сопротивление последовательного контура на резонансной частоте минимально.
Явление резонанса напряжений используют в , например если необходимо устранить из передаваемого сигнала составляющую тока определенной частоты, то параллельно приемнику ставят цепочку из соединенных последовательно конденсатора и катушки индуктивности, чтобы ток резонансной частоты этой LC-цепочки замкнулся бы через нее, и не попал к бы приемнику.
Тогда токи частоты далекой от резонансной частоты LC-цепочки будут проходить в нагрузку беспрепятственно, и только близкие к резонансу по частоте токи - будут находить себе кротчайший путь через LC-цепочку.
Или наоборот. Если необходимо пропустить только ток определенной частоты, то LC-цепочку включают последовательно приемнику, тогда составляющие сигнала на резонансной частоте цепочки пройдут к нагрузке почти без потерь, а частоты далекие от резонанса окажутся сильно ослаблены и можно сказать, что к нагрузке совсем не попадут. Данный принцип применим к радиоприемникам, где перестраиваемый колебательный контур настраивают на прием строго определенной частоты нужной радиостанции.
Вообще резонанс напряжений в электротехнике является нежелательным явлением, поскольку он вызывает перенапряжения и выход из строя оборудования.
В качестве простого примера можно привести длинную кабельную линию, которая по какой-то причине оказалась не подключенной к нагрузке, но при этом питается от промежуточного трансформатора. Такая линия с распределенной емкостью и индуктивностью, если ее резонансная частота совпадет с частотой питающей сети, просто будет пробита и выйдет из строя. Чтобы предотвратить разрушение кабелей от случайного резонанса напряжений, применяют вспомогательную нагрузку.
Но иногда резонанс напряжений играет нам на руку и не только в радиоприемниках. Например, бывает, что в сельской местности напряжение в сети непредсказуемо упало, а станку нужно напряжение не менее 220 вольт. В этом случае явление резонанса напряжений спасает.
Достаточно последовательно со станком (если приводом в нем является асинхронный двигатель) включить по несколько конденсаторов на фазу, и таким образом напряжение на обмотках статора поднимется.
Здесь важно правильно подобрать количество конденсаторов, чтобы они точно скомпенсировали своим емкостным сопротивлением вместе с индуктивным сопротивлением обмоток просадку напряжения в сети, то есть слегка приблизив цепь к резонансу - можно поднять упавшее напряжение даже под нагрузкой.
Когда источник ЭДС, емкость, индуктивность и сопротивление включены между собой параллельно, то резонанс в такой цепи называется параллельным резонансом или резонансом токов. Характерная черта резонанса токов - значительные токи через емкость и индуктивность, по сравнению с током источника.
Причина появления такой картины очевидна. Ток через активное сопротивление по закону Ома будет равен U/R, через емкость U/XC, через индуктивность U/XL, и составив отношение IL к I можно найти величину добротности Q. Ток через индуктивность будет в Q раз больше тока источника, такой же ток будет течь каждые пол периода в конденсатор и из него.
То есть резонанс токов приводит к возрастанию тока через реактивные элементы в Q раз, а резонансная ЭДС будет ограничена ЭДС источника, его внутренним сопротивлением и активным сопротивлением цепи R. Таким образом, на резонансной частоте сопротивление параллельного колебательного контура максимально.
Аналогично резонансу напряжений, резонанс токов применяется в различных фильтрах. Но включенный в цепь, параллельный контур действует наоборот, чем в случае с последовательным: установленный параллельно нагрузке, параллельный колебательный контур позволит току резонансной частоты контура пройти в нагрузку, поскольку сопротивление самого контура на собственной резонансной частоте максимально.
Установленный последовательно с нагрузкой, параллельный колебательный контур не пропустит сигнал резонансной частоты, поскольку все напряжение упадет на контуре, а на нагрузку придется мизерная доля сигнала резонансной частоты.
Так, основное применение резонанса токов в радиотехнике - создание большого сопротивления для тока определенной частоты в ламповых генераторах и усилителях высокой частоты.
В электротехнике резонанс токов используется с целью достижения высокого коэффициента мощности нагрузок, обладающих значительными индуктивными и емкостными составляющими.
Например, представляют собой конденсаторы, подключаемые параллельно обмоткам асинхронных двигателей и трансформаторов, работающих под нагрузкой ниже номинальной.
К таким решениям прибегают как раз с целью достижения резонанса токов (параллельного резонанса), когда индуктивное сопротивление оборудования делается равным емкостному сопротивлению подключаемых конденсаторов на частоте сети, чтобы реактивная энергия циркулировала между конденсаторами и оборудованием, а не между оборудованием и сетью; чтобы сеть отдавала энергию только тогда, когда оборудование нагружено и потребляет активную мощность.
Когда же оборудование работает в холостую, сеть оказывается подключена параллельно резонансному контуру (внешние конденсаторы и индуктивность оборудования), который представляет для сети очень большое комплексное сопротивление и позволяет снизиться .
Резонанс является одним из самых распространенных в природе резонанса можно наблюдать в механических, электрических и даже тепловых системах. Без резонанса у нас не было бы радио, телевидения, музыки и даже качелей на детских площадках, не говоря уже об эффективнейших диагностических системах, применяемых в современной медицине. Одним из самых интересных и полезных видов резонанса в электрической цепи является резонанс напряжений.
Элементы резонансной цепи
Явление резонанса может возникнуть в так называемой RLC-цепи, содержащей следующие компоненты:
- R - резисторы. Эти устройства, относящиеся к так называемым активным элементам электрической цепи, преобразуют электрическую энергию в тепловую. Другими словами, они удаляют энергию из контура и преобразуют ее в тепло.
- L - индуктивность. Индуктивность в электрических цепях - аналог массы или инерции в механических системах. Этот компонент не очень заметен в электрической цепи, пока не попробуешь сделать в ней какие-либо изменения. В механике, например, таким изменением является изменение скорости. В электрической цепи - изменение тока. Если оно по какой-либо причине происходит, индуктивность противодействует такому изменению режима цепи.
- С - обозначение для конденсаторов, которые представляют собой устройства, хранящие электрическую энергию подобно тому, как пружины сохраняют Индуктивность концентрирует и сохраняет магнитную энергию, в то время как конденсатор концентрирует заряд и тем самым хранит электрическую энергию.
Понятие резонансного контура
Ключевыми элементами резонансного контура являются индуктивность (L) и емкость (C). Резистор имеет тенденцию к гашению колебаний, поэтому он удаляет энергию из контура. При рассмотрении процессов, происходящих в колебательном контуре, мы его временно игнорируем, но необходимо помнить, что подобно силе трения в механических системах электрическое сопротивление в цепях невозможно устранить.
Резонанс напряжений и резонанс токов
В зависимости от способа соединения ключевых элементов резонансный контур может быть последовательным и параллельным. При подключении последовательного колебательного контура к источнику напряжения с частотой сигнала, совпадающей с собственной частотой, при определенных условиях в нем возникает резонанс напряжений. Резонанс в электрической цепи с параллельно соединенными реактивными элементами называется резонансом токов.
Собственная частота резонансного контура
Мы можем заставить систему колебаться с собственной частотой. Для этого сначала необходимо зарядить конденсатор, как показано на верхнем рисунке слева. Когда это будет выполнено, ключ переводится в положение, показанное на том же рисунке справа.
В момент времени "0" вся электрическая энергия сохраняется в конденсаторе, и ток в контуре равен нулю (рисунок внизу). Обратите внимание, что верхняя пластина конденсатора заряжена положительно, а нижняя - отрицательно. Мы не можем видеть колебания электронов в цепи, но мы можем измерить ток амперметром, а при помощи осциллоскопа отследить характер зависимости тока от времени. Отметим, что T на нашем графике - это время, необходимое для завершения одного колебания, носящего в электротехнике название "период колебания".
Ток течет по часовой стрелке (рисунок внизу). Энергия передается из конденсатора в На первый взгляд может показаться странным, что индуктивность содержит энергию, однако это похоже на кинетическую энергию, содержащуюся в движущейся массе.
Поток энергии возвращается обратно в конденсатор, но обратите внимание, что полярность конденсатора теперь изменилась. Другими словами, нижняя пластина теперь имеет положительный заряд, а верхняя пластина - отрицательный заряд (рисунок внизу).
Теперь система полностью обратилась, и энергия начинает поступать из конденсатора опять в индуктивность (рисунок внизу). В итоге энергия полностью возвращается к своей отправной точке и готова начать цикл заново.
Частота колебаний может быть аппроксимирована следующим образом:
- F = 1/2π(LC) 0,5 ,
где: F - частота, L - индуктивность, C - емкость.
Рассмотренный на этом примере процесс отражает физическую суть резонанса напряжений.
Исследование резонанса напряжений
В реальных схемах LC всегда присутствует небольшое сопротивление, которое с каждым циклом уменьшает прирост амплитуды тока. После нескольких циклов ток уменьшается до нуля. Этот эффект называется "затухание синусоидального сигнала". Скорость затухания тока до нулевого значения зависит от величины сопротивления в цепи. Тем не менее, сопротивление не изменяет частоту колебаний резонансного контура. Если сопротивление достаточно велико, синусоидальные колебания в контуре не возникнут вообще.
Очевидно, там, где существует собственная частота колебаний, есть возможность возбуждения резонансного процесса. Мы делаем это, включая в последовательную цепь источник питания (АС), как показано на рисунке слева. Термин "переменный" означает, что выходное напряжение источника колеблется с определенной частотой. Если частота источника питания совпадает с собственной частотой контура, возникает резонанс напряжений.
Условия возникновения
Сейчас мы рассмотрим условия возникновения резонанса напряжений. Как показано на последнем рисунке, мы вернули резистор в контур. При отсутствии резистора в контуре ток в резонансной цепи будет нарастать до некоторого максимального значения, определяемого параметрами элементов контура и мощностью источника питания. Увеличение сопротивления резистора в резонансной цепи повышает тенденцию к затуханию тока в контуре, но не влияет на частоту резонансных колебаний. Как правило, режим резонанса напряжений не наступает, если сопротивление цепи резонанса удовлетворяет условию R = 2(L/C) 0,5 .
Использование резонанса напряжений для передачи радиосигнала
Явление резонанса напряжений является не только любопытнейшим физическим феноменом. Оно играет исключительную роль в технологии беспроводных коммуникаций - радио, телевидении, сотовой телефонии. Передатчики, используемые для беспроводной передачи информации, в обязательном порядке содержат схемы, предназначенные для резонирования на определенной для каждого устройства частоте, называемой несущей частотой. При помощи передающей антенны, подключенной к передатчику, он излучает на несущей частоте.
Антенна на другом конце приемо-передающего тракта получает этот сигнал и подает его на приемный контур, предназначенный для резонирования на частоте несущей. Очевидно, что антенна принимает множество сигналов на различных частотах, не говоря уже о фоновом шуме. Благодаря наличию на входе приемного устройства, настроенного на несущую частоту резонансного контура, приемник выбирает единственно правильную частоту, отсеивая все ненужные.
После детектирования амплитудно-модулированного (AM) радиосигнала, выделенный из него низкочастотный сигнал (НЧ) усиливается и подается на звуковоспроизводящее устройство. Это простейшая форма радиопередачи очень чувствительна к шумам и помехам.
Для повышения качества принимаемой информации разработаны и успешно используются другие, более совершенные способы передачи радиосигнала, которые также базируются на использовании настроенных резонансных систем.
Или FM-радио решает многие из проблем радиопередачи с амплитудно-модулированным передающим сигналом, однако это достигается ценой существенного усложнения системы передачи. В FM-радио системные звуки в электронном тракте превращаются в небольшие изменения несущей частоты. Часть оборудования, которое выполняет это преобразование, называется "модулятор" и используется с передатчиком.
Соответственно, к приемнику должен быть добавлен демодулятор для преобразования сигнала обратно в форму, которая может быть воспроизведена через громкоговоритель.
Другие примеры использования резонанса напряжения
Резонанс напряжений как основополагающий принцип заложен также в схемотехнике многочисленных фильтров, широко применяемых в электротехнике для устранения вредных и ненужных сигналов, сглаживания пульсаций и генерирования синусоидальных сигналов.
Режим работы электрической цепи, при котором ток и напряжение на входе цепи совпадают по фазе, называют резонансом . При этом эквивалентное сопротивление всей цепи будет активным. В цепях, состоящих из резистивного, индуктивного и емкостного элементов, различают резонанс напряжений и резонанс токов.
Резонанс напряжений
Резонанс напряжений может иметь место в цепи с последовательно соединенными индуктивным и емкостным элементами. Рассмотрим схему последовательного соединения резистора, индуктивности и емкости (рис. 6.1).
U Х = U L – U C – положительна, и угол сдвига фаз между током и напряжением φ> активно-индуктивным .
2. Пусть индуктивное сопротивление меньше емкостного X L < X C . Тогда и индуктивное напряжение станет меньше емкостного U L < U C , так как ток через элементы протекает один и тот же, а напряжение пропорционально току и сопротивлению. Векторная диаграмма будет иметь вид (рис. 6.3).
Реактивная составляющая напряжения U Х = U L – U C – отрицательна, и угол сдвига фаз между током и напряжением φ < 0. Такой характер цепи является активно- емкостным .
3. Пусть X L = X C , в этом случае индуктивное и емкостное напряжения равны по величине U L = U C . Так как они всегда противоположны по фазе, то они полностью компенсируют друг друга, следовательно, реактивная составляющая U Х = U L – U C = 0. Общее напряжение будет активным и совпадет по фазе с током φ = 0, следовательно, в цепи имеет место резонанс напряжений. Векторная диаграмма для данного случая показана на рис. 6.4.
Из вышесказанного следует, что условием, при котором наступит резонанс напряжений, является равенство индуктивного и емкостного сопротивлений.
Из выражения (6.1) следует, что при резонансе полное сопротивление цепи имеет активный характер.
Резонанс напряжений можно достигнуть подбором трех параметров:
1) изменением частоты колебательного контура , L , C = const;
2) изменением индуктивности контура , , С = const;
3) изменением емкости колебательного контура , , L = const .
При этом все три параметра связаны между собой.
Из условия получаем: , отсюда:
Частоту ω 0 , определяемую из такого условия, называют резонансной.
Если напряжение на зажимах цепи и активное сопротивление цепи R не изменяются, то ток при резонансе имеет максимальное значение
, так как .
Если реактивные сопротивления превосходят при резонансе активное сопротивление:
, ,
то напряжения на зажимах катушки и конденсатора могут существенно превышать напряжение на входе цепи.
Превышение напряжения на реактивных элементах над напряжением на входе принято характеризовать величиной
,
называемой волновым или характеристическим сопротивлением цепи. Волновое сопротивление численно равно индуктивному или емкостному сопротивлению на резонансной частоте.
Кратность превышения напряжения на зажимах индуктивного и емкостного сопротивлений над входным определяют отношением напряжения на реактивном элементе к напряжению на входе цепи на резонансной частоте:
Эта величина называется добротностью контура.
Величина, обратная добротности
называется затуханием контура.
|
Избирательные свойства колебательного контура определяются его добротностью. Чем больше добротность контура, тем более узкой будет резонансная кривая (рис. 6.5).
Избирательность контура характеризуется полосой пропускания. Полоса пропускания – это диапазон частот, для которых ток ослабляется не более чем в раз по отношению к максимальному значению
.
Ширину полосы пропускания можно определить по формуле
Рассмотрим резонансные кривые тока и напряжений (рис. 6.6).
При неизменных параметрах цепи и неизменном входном напряжении ток определится выражением
.
|
Рассмотрим это выражение в реперных точках: ; . При нулевой частоте ток в цепи будет постоянным, величина тока , так как конденсатор не пропускает постоянный ток, при резонансной частоте ток максимален – это признак резонанса напряжений . На высоких частотах ток , так как сопротивление катушки становится равным .
Напряжение на индуктивности пропорционально частоте, следовательно, при нулевой частоте напряжение на индуктивности . При все напряжение, подаваемое от источника, приложено к индуктивности, и .
Напряжение на емкости обратно пропорционально частоте, следовательно, при все напряжение приложено к емкости . При , так как равно нулю емкостное сопротивление.
При резонансной частоте индуктивное и емкостное напряжения равны .
Напряжение на резистивном элементе пропорционально току и, следовательно, повторяет форму кривой тока при и , при .
Рассмотрим энергетические соотношения при резонансе.
Мгновенные значения мощности на зажимах катушки и конденсатора определяются выражениями:
;
.
Так как при резонансе , эти мощности в любой момент времени равны и противоположны по знаку. Это значит, что происходит обмен энергией между магнитным полем катушки и электрическим полем конденсатора, но не происходит обмена между источником и реактивными элементами, так как
и ,
то есть суммарная энергия электрического и магнитного полей остается постоянной. Энергия переходит из конденсатора в катушку в течение четверти периода, когда напряжение на конденсаторе убывает, а ток растет. В течение следующей четверти периода энергия переходит из катушки в конденсатор. Источник энергии питает только активное сопротивление.
Резонанс токов
Резонанс в идеальной цепи
Резонанс токов наступает при параллельном соединении индуктивности и емкости. Для обобщения анализов включим в цепь параллельно индуктивности и емкости активное сопротивление (рис. 6.7).
По первому закону Кирхгофа можно записать:
.
Запишем это выражение в комплексной форме:
,
где , , .
Вынесем напряжение за скобку, получим
.
Условием резонанса токов является равенство индуктивной и емкостной проводимостей:
.
Векторная диаграмма для режима резонанса представлена на рис. 6.8. При равенстве индуктивной и емкостной проводимостей будут равны и токи . Направленные в противофазе, эти токи компенсируют друг друга, в цепи остается только активная составляющая тока, и общий ток будет совпадать по фазе с напряжением . Поэтому резонанс называют резонансом токов.
Общий ток в цепи можно представить как ,
где – полная комплексная проводимость, модуль которой равен
.
С учетом условия резонанса, получим, что , то есть проводимость цепи минимальна, следовательно, и ток будет минимальным – это признак резонанса токов.
Из условия резонанса получим выражение для резонансной частоты
То есть, как и при резонансе напряжений, добиться резонанса токов можно, изменяя один из трех параметров ω , L , C .
Резонанс в реальной цепи
Реальная катушка и реальный конденсатор обладают не только реактивным, но и активным сопротивлением. Катушка – сопротивлением обмотки, конденсатор – сопротивлением токам утечки. В этом случае при большой добротности катушки или конденсатора активное сопротивление может оказаться функцией частоты.
Под добротностью катушки будем понимать отношение её индуктивного сопротивления к активному.
Под добротностью конденсатора – отношение его емкостного сопротивления к активному
.
Рассмотрим цепь, содержащую реальные катушку и конденсатор, представленную на рис. 6.9.
Условием резонанса токов в такой цепи является равенство нулю реактивной проводимости .
Комплексную проводимость цепи можно выразить через комплексные сопротивления ветвей:
Реактивное сопротивление или проводимость двухполюсника, в состав которого входят конденсаторы и катушки индуктивности, в зависимости от частоты приложенного напряжения могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. При определенных условиях реактивное сопротивление (проводимость) может оказаться равным нулю, а эквивалентное сопротивление (проводимость) всей цепи становится активным. В этом случае ток и напряжение на входе цепи совпадают по фазе. Такое явление называют резонансом , а соотношение −условием резонанса .
Эквивалентные параметры двухполюсника связаны соотношениями
и
,
поэтому
условие
эквивалентно выполнению равенств
или
.
Из
условий
,
могут быть определены значения параметров
элементов электрической цепи, при
которых наблюдается явление резонанса,
а также значения частотырезонанса.
Если
для двухполюсника
и
,
то для определения значений резонансных
частот может быть использовано любое
из условий
или
.
В
случае, когда активное эквивалентное
сопротивление или активная эквивалентная
проводимость двухполюсника равны нулю,
для определения значений резонансных
частот следует использовать оба условия
и
,
так как при этом
.
Равенства
и
выполняются, в частности, для цепей,
содержащих только катушки индуктивности
и конденсаторы.
Для
описания частотных свойств электрических
цепей широко используются частотные
характеристики. Под частотными
характеристиками понимают зависимости
от частоты входных параметров цепи: r
,
x
,
z
,
g
,
b
,
y
, а также
величин, определяемых этими параметрами
,
и т.д. Рассмотрим далее частотные
свойства простейших цепей, в которых
возможен резонанс.
Резонанс в цепи при последовательном соединении элементов
Рассмотрим цепь, изображенную на рис. 10.1а
Комплексное сопротивление цепи равно
Угол
сдвига между входным током и напряжением
обращается в нуль при равенстве нулю
реактивного сопротивления цепи, то есть
при выполнении условия
.
Таким образом, состояние резонанса в
цепи наступает при частоте
.
Эта угловая частота называетсярезонансной
.
Векторная диаграмма для токов и напряжений
в последовательном rLC
контуре,
построенная при
,
изображена на рис. 10.1б. Как видно из
векторной диаграммы, вектораи
равны по величине и противоположны по
направлению, таким образом, напряжение
при резонансной частоте равно нулю.
Индуктивное и равное ему емкостное
сопротивление цепи при резонансной
частоте
,
обозначаемое символом , носит названиеволнового сопротивления колебательного контура и измеряется в омах.
Отношение волнового сопротивления к активному сопротивлению в последовательном колебательном контуре называется добротностью , а величина, обратная добротности − затуханием :
,
.
Как следует из приведенных соотношений, добротность и затухание являются безразмерными величинами. Поскольку во всех элементах цепи, изображенной на рис. 10.1а протекает один и тот же ток, добротность показывает, во сколько раз напряжение на реактивных элементах при резонансе превышает входное напряжение. В реальных колебательных контурах эта величина может достигать значительного уровня. Поэтому резонанс в цепи с последовательным соединением элементов r , L , C иногда называютрезонансом напряжений .
При резонансной частоте полное сопротивление z
равно сопротивлению резистора r , ток и входное напряжение совпадают по фазе.
Таким образом, вся мощность, поставляемая в цепь источником, равна активной мощности, потребляемой единственным резистивным элементом, а реактивная мощность цепи равна нулю. Это означает, что в резонансе взаимный обмен энергии происходит только между конденсатором и катушкой индуктивности. Уменьшение энергии электрического поля при разряде конденсатора сопровождается увеличением энергии магнитного поля катушки и наоборот. Обмен энергией между источником и реактивными элементами отсутствует.
Рассмотрим частотные свойства цепи с последовательно соединенными элементами r , L , C . Будем считать, что на входе цепи действует синусоидальное напряжение с постоянной амплитудой и угловой частотой , меняющейся в пределах от 0 до ∞ . Изменение частоты приводит к изменению параметров цепиx , z , . На рисунке 10.2 приведены соответствующие частотные характеристики
,
Активное
сопротивление рассматриваемой цепи не
зависит от частоты, а реактивное при
определенных значениях частоты (
)
становится равным либо нулю либо
бесконечности. Эти характерные значения
называют соответственно нулями и
полюсами частотной характеристики.
Важным свойством функции
является то, что она монотонно возрастает
при увеличении частоты
.
В интервале частот
реактивное сопротивление возрастает
от − ∞ до 0 и имеетемкостной
характер, при
реактивное сопротивление возрастает
от 0 до ∞ и имеетиндуктивный
характер.
Рассмотрим зависимость тока в rLC контуре от частоты приложенного напряжения:
.
Анализ этого
выражения показывает, что при
максимального значения
ток достигает в точке, соответствующей
резонансной частоте.
Важной характеристикой
rLC
контура является
ширина резонансной кривой или полоса
пропускания, которую определяют как
разность верхнейи нижнейчастот, для которых отношение
составляет
:
.
Частоты и, ограничивающие полосу пропускания, могут быть определены из соотношения
,
откуда следует, что на границах полосы пропускания реактивные сопротивления по абсолютной величине равны активному
.
Последнее соотношение эквивалентно равнству
,
Откуда
,
.
Разность частот и(полоса пропускания) определяется выражением
Если построить
зависимость
в системе относительных координат
,
(рис.10.3), то ширина полосы пропускания
оказывается равной затуханию контура.
В
выражении напряжения на катушке
индуктивности
оба сомножителя зависят от частоты.
При
напряжение
.
С увеличением частоты напряжение
возрастает и стремится к входному при
.
Можно показать, что при
эта зависимость монотонна, а при
имеет максимум (рис. 10.4).
Напряжение
на конденсаторе
.
При
ток в контуре отсутствует и все входное
напряжение оказывается приложенным к
конденсатору. При
напряжение на конденсаторе стремится
к нулю. Для цепи, добротность которой
превышает
,
зависимость
имеет максимум; если
,
напряжение на конденсаторе монотонно
уменьшается с ростом частоты.